Versuch einer kurzen Hilfestellung: Die Unterbringungsgesetze sind immer auf Landesebene geregelt, d.h. du musst dir das für dein Bundesland geltende Unterbringungsgesetz genau ansehen, denn da gibt es durchaus Abweichungen, was Voraussetzungen, Abläufe und Fristen angeht.
Im wesentlichen sind sie sich aber ähnlich. Die Grundlagen bzw. Voraussetzungen hast du ja selbst schon treffend formuliert.
Zu den Fristen: Wenn ein Patient freiwillig in die Klinik geht, sich also selbstständig einweisen lässt, kann er i.d.R. in Absprache mit dem betreuenden Arzt auch nach eigener Maßgabe wieder raus. Bei einer zwangsweisen Unterbringung erst dann, wenn die akute Gefahr vorüber ist, d.h. hier bestimmen andere über ihn. Bei "Gefahr im Verzug" bzw. höchster Dringlichkeitsstufe erfolgt die zwangsweise Unterbringung durch die Polizei, die den Patienten dann auch in die nächstgelegene notfallpsychiatrische Klinik bringt, wo er unverzüglich zu untersuchen ist. Die untersuchenden Ärzte benachrichtigen das zuständige Gericht und die zuständige Kreisverwaltungsbehörde (Gesundheitsamt), von wo aus innerhalb von 24 Stunden über die Unterbringung entschieden wird.
Vielleicht kann jemand aus dem für dich zutreffenden Bundesland näheres zu den bei dir geltenden Fristen sagen bzw. obiges ergänzen.